Diagramas de árbol

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Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción de un diagrama de árbol. El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.

Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una de estas ramas se conoce como rama de primera generación. En el final de cada rama de primera generación se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generación, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).

Existe un principio sencillo de los diagramas de árbol que hace que éstos sean mucho más útiles para los cálculos rápidos de probabilidad: multiplicamos las probabilidades si se trata de ramas adyacentes (contiguas), o bien las sumamos si se trata de ramas separadas que emergen de un mismo punto.

Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de sumar 1.

Ejemplo

Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de que tres sean niños.

Para resolver este problema, utilizaremos un diagrama de árbol.

Sea n= número de elementos totales (16=10 niños y 6 niñas).

1

 

Observa en el diagrama que las probabilidades no son constantes, ya que no hay reemplazo. En la primera rama, n=16. En la segunda rama, n=15 y en la tercera rama n=14.

$$ P(x=3 \ niños) = \frac{10}{16} \cdot \frac{9}{15} \cdot \frac{8}{14} = 0.214 $$

Seleccionar exactamente dos niños y una niña:

$$ P(x=2 \ niños \ y \ una \ niña) = \frac{10}{16} \cdot \frac{9}{15} \cdot \frac{6}{14} + \frac{10}{16} \cdot \frac{6}{15} \cdot \frac{9}{14} + \frac{6}{16} \cdot \frac{10}{15} \cdot \frac{9}{14}= 0.482 $$

 Seleccionar exactamente dos niñas y un niño

$$ P(x=2 \ niños \ y \ una \ niña) = \frac{10}{16} \cdot \frac{6}{15} \cdot \frac{5}{14} + \frac{6}{16} \cdot \frac{10}{15} \cdot \frac{5}{14} + \frac{6}{16} \cdot \frac{5}{15} \cdot \frac{10}{14}= 0.268 $$

Seleccionar tres niñas:

$$ P(x=3 \ niñas) = \frac{6}{16} \cdot \frac{5}{15} \cdot \frac{4}{14} = 0.0357 $$

La vida es más fácil con un diagrama de árbol.

Pregunta: ¿Si eliges tres, cual es la probabilidad de que dos sean niños, dado que la primera elección fue niña?

Ejemplo

Tenemos tres cajas de focos. La caja 1 tiene 10 focos de los que 4 están fundidos. En la caja 2 hay 6 focos, de los que uno está fundido. En la caja 3 hay 8 focos de los que 3 están fundidos. ¿cuál es la probabilidad de que al tomar un foco de cualquiera de las cajas esté fundido?

Construyamos el diagrama para ver las probabilidades:

 

2

$$P(1 \ foco \ fundido) = \frac {1}{3} \cdot \frac {4}{10} + \frac {1}{3} \cdot \frac {1}{6} + \frac {1}{3} \cdot \frac {3}{8} = 0.3139 $$

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